Les nombres complexes sont des nombres de la forme $z=x+iy$, où
Un nombre complexe peut être représenté par un point d'un plan en identifiant ses parties réelle et imaginaire à des coordonnées.
Somme, différence
Produit, quotient
Conjugué
Module
Parties réelle et imaginaire
Les nombres complexes peuvent aussi être représentés sous forme polaire: $z=\rho e^{i\theta}=\rho(\cos(\theta)+i\sin(\theta))$.
Cette forme est pratique pour calculer les produits de nombres complexes et les puissances d'un nombre complexe.
Produit, quotient
Puissances
Conjugué
La conversion de la forme polaire à forme cartésienne se fait à l'aide de la Formule d'Euler $$e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)\,.$$
La formule d'Euler appliquée à $e^{ix}$ et $e^{-ix}$ donne: $\displaystyle{\cos(x)=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}}$ et $\displaystyle{\sin(x)=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}$.
Les produits sont plus difficiles à manipuler que les sommes, il est donc utile de savoir transformer une expression de la forme $\cos(x)^n\sin(x)^m$ en une somme de terme de la forme $\cos(jx)$ ou $\sin(kx)$, c'est ce qu'on appelle linéariser $\cos(x)^n\sin(x)^m$.
Historiquement les nombres complexes ont été introduits pour résoudre les équations de la forme $az^2+bz+c=0$.
Racines carrées d'un nombre complexe: la méthode algébrique
Équations polynomiale de degré 2
Factorisation de $z^n-a^n$ par $z-a$
Factorisation de $P(z)$ par $z-a$ si $P(a)=0$
Racines d'un polynôme réel de degré 3 dont une racine est connue.
$z'=\rho' e^{i\theta'}$ est un racine $n$-ième de $z=\rho e^{i\theta}$ si et seulement si $z=\rho'^n e^{in\theta'}$, autrement dit $\rho'=\rho^{1/n}$ et $n\theta'= \theta +2\pi k$ avec $k\in \mathbb{Z}$. On obtient toutes les solutions distinctes exactement une fois en prenant $0\leq k \leq n-1$ car $z'$ ne dépend que de la valeur de $\theta'$ modulo $2\pi$.