Considérons deux vecteurs $\vec{a}=\begin{pmatrix}a_{x}\\ a_{y}\\ a_{z} \end{pmatrix}$ et $\vec{b}=\begin{pmatrix}b_{x}\\ b_{y}\\ b_{z} \end{pmatrix}$ de $\mathbb{R}^3$.
Le produit scalaire de $\vec{a}$ et $\vec{b}$ est défini par $$\vec{a}\cdot\vec{b}=\begin{pmatrix}a_{x}\\ a_{y}\\ a_{z} \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}b_{x}\\ b_{y}\\ b_{z} \end{pmatrix} =a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z.$$
Le produit vectoriel de $\vec{a}$ et $\vec{b}$ est défini par $$\vec{a}\wedge\vec{b}=\begin{pmatrix}a_{x}\\ a_{y}\\ a_{z} \end{pmatrix}\wedge \begin{pmatrix}b_{x}\\ b_{y}\\ b_{z} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}a_yb_z-a_zb_y\\ a_zb_x-a_xb_z\\ a_xb_y-a_yb_x \end{pmatrix}.$$
Le produit scalaire $\vec{a}\cdot\vec{b}$ est un scalaire (c'est-à-dire un nombre réel). Le produit scalaire est
Le produit vectoriel $\vec{a}\wedge\vec{b}$ est un vecteur. Le produit vectoriel est
Considérons trois vecteurs $\vec{a}=\begin{pmatrix}a_{x}\\ a_{y}\\ a_{z} \end{pmatrix}$, $\vec{b}=\begin{pmatrix}b_{x}\\ b_{y}\\ b_{z} \end{pmatrix}$ et $\vec{c}=\begin{pmatrix}c_{x}\\ c_{y}\\ c_{z} \end{pmatrix}$ de $\mathbb{R}^3$.
Le produit mixte de $\vec{a}$, $\vec{b}$ et $\vec{c}$ est défini par $$\det(\vec{a},\vec{b},\vec{c}) = \vec{a} \cdot (\vec{c}\wedge\vec{b}).$$
Le produit mixte $\det(\vec{a},\vec{b},\vec{c})$ est un scalaire. Le produit mixte est
Visualisons les coordonnées cylindriques ou sphériques d'un point.
Les coordonnées cylindriques sont les coordonnées polaires (2D) auxquelles on rajoute une coordonnée $z$.
À l'aide d'un schéma on retrouve les expressions des coordonnées d'un point en coordonnées cartésiennes:
Les coordonnées cartésiennes d'un point de coordonnées cylindriques $(\rho,\theta,z)$ sont $(\rho\cos(\theta),\rho\sin(\theta),z)$.
Les coordonnées cartésiennes d'un point de coordonnées sphériques $(r,\theta,\varphi)$ sont $(r\cos(\theta)\cos(\varphi),r\sin(\theta)\cos(\varphi),r\sin(\varphi))$.
Intégrales en coordonnées cylindriques et sphériques. Équations aux dérivées partielles en coordonnée cylindriques ou sphériques.
Si un observateur $O$ regarde la lune, celle-ci occupe une certaine portion du champ de vision de l'observateur, on parle de l'angle solide occupé par la Lune depuis $O$.
Cette notion d'angle solide se généralise quand on a un objet et un point depuis lequel on voit cet objet: on peut parler de l'angle solide occupé par n'importe quel objet vu depuis un point $O$.
De même qu'on peut mesurer l'angle entre deux droites en radians, on peut mesurer des angles solides en stéradians (sr), voir la visualisation ci-dessous.
Il y a deux cas où le calcul d'angle solides est plus pratique:
En coordonnées sphériques, l'élément de surface de la sphère unitaire, correspondant à $(r,\theta,\varphi)$ avec $r=1$, et des variations $d\theta$ et $d\varphi$ est $d^2\Omega = |\sin(\theta)|d\theta \,d\varphi$, on peut donc calculer la mesure $|\Omega|$ de l'angle solide $\Omega$ correspondant à un domaine $(\theta,\varphi)\in D$ par la formule $$|\Omega|=\iint_{D} d^2\Omega=\iint_{(\theta,\varphi)\in D} |\sin(\theta)| d\theta \, d\varphi.$$
Par exemple l'angle solide total est $\int_0^{2\pi}\int_{-\pi/2}^{\pi/2}d\varphi \, |\sin(\theta)| d\theta=4\pi$.
Si l'angle solide est une fraction simple de l'ange solide total. Par exemple la mesure de l'angle solide d'un demi espace $x>0$ vu de l'origine est la moitié de la mesure de l'angle solide de tout l'espace, soit $\frac{4\pi}{2}=2\pi$ stéradians.
La circulation d'un champ de vecteurs $\vec{f}:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ le long d'une courbe $\mathcal{C}$ paramétrée par une fonction $\vec{\gamma}:[a,b]\to \mathbb{R}^3$ (c'est-à-dire que $\mathcal{C}=\{\vec{\gamma}(t)\mid t\in [a,b]\}$) continue et de classe $C^1$ par morceaux, est le nombre $$\int_{\mathcal{C}} \vec{f} \cdot \mathrm{d}\vec{l} =\int_{a}^{b} \vec{f}(\vec{\gamma}(t))\cdot \vec{\gamma}'(t) \, \mathrm{d}t .$$
Le flux d'un champ de vecteurs $\vec{f}:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ à travers une surface $\mathcal{S}$ paramétrée par une fonction $\vec{\gamma}:\mathcal{D}\to \mathbb{R}^3$ (c'est-à-dire que $\mathcal{S}=\{\vec{\gamma}(s,t)\mid (s,t)\in \mathcal{D}\}$ avec $\mathcal{D}\subset\mathbb{R^2}$ dont le bord est une courbe continue, de classe $C^1$ par morceaux) continue et de classe $C^1$ par morceaux, est le nombre $$\iint_{\mathcal{S}} \vec{f} \cdot \mathrm{d}^2\vec{S} =\iint_{(s,t)\in \mathcal{D}} \vec{f}(\vec{\gamma}(s,t))\cdot \big(\frac{\partial \vec{\gamma}}{\partial s}(s,t)\mathrm{d}s \wedge\frac{\partial \vec{\gamma}}{\partial t}(s,t) \mathrm{d}t \big) .$$