$ \sum$
Sommes

Visualisation

Étant donné des entiers naturels $m\leq n$ et une suite de réels $a_k$ pour $m\leq k \leq n$, la somme $a_m+a_{m+1}+\cdots +a_{n-1}+a_n$ des nombres $a_k$ pour $k$ allant de $m$ à $n$ est notée $\displaystyle{\sum_{k=m}^n a_k}.$

Visualisons cette somme sur des exemples.

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Symbole somme

Identification des éléments

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Calcul direct

Le symbole utilisé ($i$, $j$, $k$, $\ell$...) pour l'indice de sommation ne change pas la valeur de la somme.

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Suite définie par une formule

La suite des termes dans la somme est généralement donnée par une formule dépendant de l'indice de sommation.

La notation factorielle

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Utiliser la notation $\sum$

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Sommes classiques

Les sommes arithmétiques, géométriques et binomiales apparaîssent très souvent dans tous les domaines des sciences, il faut donc savoir les reconnaître et les calculer.

Arithmétique

$1+2+\cdots+n$ $=\displaystyle{\sum_{k=1}^n k =\frac{n(n+1)}{2}}$

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Des formules existent aussi pour les sommes de carrés, de cubes, etc.

$\displaystyle{\sum_{k=1}^n k^2} = \displaystyle{\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}$

$\displaystyle{\sum_{k=1}^n k^3} = \displaystyle{\Big(\frac{n(n+1)}{2}\Big)^2} $

Il n'est pas nécessaire de les connaître par cœur.

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Géométrique

Pour $a\neq 1$: $\displaystyle{\sum_{k=0}^n a^k =\frac{a^{n+1}-1}{a-1}}$

Visualisons ce résultat pour $0 < a < 1$. Si $a=1/2$ ceci correspond aux formats de feuilles A0, A1, A2, A3, A4,...

Plus généralement, pour $a\neq b$: $\displaystyle{\sum_{k=0}^n a^{n-k} b^k =\frac{a^{n+1}-b^{n+1}}{a-b}}$

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Binomiale

La formule du binôme de Newton est $\displaystyle{\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^{n-k} \, b^k = (a+b)^n}$, où les coefficients binomiaux sont $\displaystyle{\binom{n}{k}=\frac{n!}{(n-k)!\,k!}}$ avec $j! = 1\cdot 2 \cdot 3 \cdot \cdots \cdot (j-1)\cdot j $ pour $j\geq 1$ et $0! = 1$.

À chaque produit dans $(a+b)^n$ on obtient deux termes en développant, l'un avec $a$, l'autre avec $b$, ce que l'on peut représenter par un "arbre".

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Autres écritures des sommes

La somme $\displaystyle{\sum_{k=0}^n u_k}$ peut aussi s'écrire $\displaystyle{\sum_{0\leq k \leq n} u_k}$ ou $\displaystyle{\sum_{k \in \{0,1,\dots, n\} } u_k}.$ Ces autres formulations sont utiles pour des sommes plus générales, par exemple une somme sur les entiers pairs s'écrit $\displaystyle{\sum_{\substack{0\leq k \leq n\\ k \text{ pair}}} u_k}$.

D'entiers

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De couples d'entiers

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Changement d'indice

Translation

Il peut être utile de translater l'indice de sommation, par exemple pour calculer des sommes téléscopiques.

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Sommes téléscopiques

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Retournement

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Sommes doubles

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