Vous pouvez ici visualiser les droites tangentes à une surface définie par une fonction d'"altitude" $f(x,y)$ dans les directions $x$ et $y$. Leurs pentes sont $\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)$ et $\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)$.
Vous pouvez choisir le point $(x_0,y_0)$ en lequel sont calculées les dérivées partielles et tourner la figure.
Au point $(x_0,y_0)$ correspondant au sommet les deux tangentes sont horizontales: en un extremum local les dérivées partielles s'annulent.
La réciproque est fausse: en un point $(x_0,y_0)$ correspondant à un col les deux tangentes sont horizontales et donc les dérivées s'annulent aussi, mais il n'y a pas d'extremum local.
$(f(g(x)))' = g'(x) f'(g(x))$
$\vec{\nabla}f(x,y) = (\frac{\partial f}{\partial x}(x,y), \frac{\partial f}{\partial y}(x,y))$
Le gradient indique dans quelle direction la fonction croît et avec quelle intensité.Gradient
Pour $f:\mathbb R \to \mathbb R$ de classe $C^1$.
Pour $f:\mathbb R^2 \to \mathbb R$ de classe $C^1$ dont on note $u$ et $v$ les variables: $f(u,v)$.
Théorème de Schwarz Pour $f(x,y)$ de classe $C^2$, $$\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}(x,y) = \frac{\partial^2f}{\partial y\partial x}(x,y) . $$
$\frac{\partial f^2}{\partial x^2}(x,y)$ n'a pas de sens.
$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x,y)$ est la dérivée seconde de $f$ par rapport à $x$.
$\Delta f(x,y) = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x,y) + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x,y)$
Le laplacien de $f$ en $(x,y)$ indique la concavité de la surface définie par le graphe de $f$. Une concavité en $x$ peut être compensée par une convexité en $y$ et réciproquement.
Les extrema se trouvent
Pour les fonctions de deux variables, on peut souvent déterminer si une fonction possède un extremum en un point critique $(x_0,y_0)$ en étudiant le signe de $$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x_0,y_0)\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x_0,y_0) - \Big(\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}(x_0,y_0) \Big)^2\,,$$ puis déterminer s'il s'agit d'un maximum ou d'un minimum à l'aide du signe de $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x_0,y_0)$.
Ordre 1 pour des polynômes.
Ordre 1 pour des fonctions générales.
Ordre 2 pour des polynômes.
De la forme $x=au+bv,y=cu+dv$.