Comparons une fonction à la partie régulière de son développement limité à un ordre donné.
$$\frac{1}{1-x} = 1+x+x^2+x^3\cdots +x^n+x^n\varepsilon(x)$$ $$\frac{1}{1+x} = 1-x+x^2-x^3\cdots +(-1)^n x^n+x^n\varepsilon(x)$$ $$\ln(1+x) = x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}\cdots +(-1)^{n+1}\frac{x^n}{n}+x^n\varepsilon(x)$$ $$\exp(x) = 1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}\cdots +\frac{x^{n}}{n!}+x^{n}\varepsilon(x)$$ $$\sin(x) = x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}\cdots +\frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!}+x^{2n+2}\varepsilon(x)$$ $$\cos(x) = 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}\cdots +\frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}+x^{2n+1}\varepsilon(x)$$
Rappel: $\displaystyle{\cosh(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}}$ et $\displaystyle{\sinh(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}}$.
Pour calculer le développement limité d'une fonction en un autre point que $0$ on se ramène aux développements usuels en zéro. On commence donc par apprendre à développer une fonction $f(ax+b)$ avec $x$ proche de zéro.
Attention $\displaystyle{\exp(1+x) = 1+(1+x)+\frac{(1+x)^2}{2}+(1+x)^2 \varepsilon(1+x)}$ n'est pas un développement limité de $\exp(1+x)$ en zéro car $1+x$ ne tend pas vers zéro quand $x\rightarrow 0$ et donc $\varepsilon(1+x)$ ne tend pas vers zéro quand $x$ tend vers zéro.
Bonne méthode On se ramène à un développement limité en zéro, souvent à l'aide des relations fonctionnelles rappelées plus bas. Par exemple: $$\exp(1+x) = \exp(1)\exp(x) = e+ex+\frac{e}{2}x^2+x^2 \varepsilon(x)\,.$$
Pour écrire un développement limité de $\cos(2+3x)$ à l'ordre 5 en zéro, on commence par utiliser une formule de trigonométrie pour obtenir: $$\cos(2+3x)=\cos(2)\cos(3x)-\sin(2)\sin(3x)$$ On peut alors appliquer les développements limités usuels en remplaçant la variable par $3x$: $$\cos(2+3x)=\cos(2)\big(1-\frac{(3x)^2}{2!}+\frac{(3x)^4}{4!}+x^5\varepsilon_1(x)\big)-\sin(2)\big(3x-\frac{(3x)^3}{3!}+\frac{(3x)^5}{5!}+x^5\varepsilon_2(x)\big)$$ avec $\lim_{x\to0}\varepsilon_j(x)=0$. On conclut en écrivant tous les termes dans l'ordre: $$\cos(2+3x)=\cos(2)-3\sin(2)x-\frac{9\cos(2)}{2}x^2+\frac{9\sin(2)}{2}x^3+\frac{27\cos(2)}{8}x^4-\frac{81\sin(2)}{40}x^5+x^5\varepsilon_3(x)$$
$$\ln(ab) = \ln(a) + \ln(b) \qquad (a>0,\, b>0)$$ $$e^{a+b}=e^a e^b$$ $$\cos(a+b)=\cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b)$$ $$\sin(a+b)=\cos(a)\sin(b)+\sin(a)\cos(b)$$ $$\cosh(a+b)=\cosh(a)\cosh(b)+\sinh(a)\sinh(b)$$ $$\sinh(a+b) = \sinh(a)\cosh(b) + \cosh(a)\sinh(b)$$
Division suivant les puissances croissantes
d'où $2x-\frac{4}{3}x^3=(1-2x^2)(2x+\frac{8}{3}x^3)+(\frac{16}{3}x^5)$. On obtient alors $$\frac{2x-\frac{4}{3}x^3}{1-2x^2}=2x+\frac{8}{3}x^3+\frac{\frac{16}{3}x^5}{1-2x^2}$$ et donc $$\frac{2x-\frac{4}{3}x^3}{1-2x^2}=2x+\frac{8}{3}x^3+x^4\varepsilon(x)$$
Division de développements limités.
Attention Il ne faut jamais dériver un développement limité.