Les solutions de $y'-ay=0$ sont les fonctions de la forme $y(x)=C\exp(ax)$.
On visualise ici ces solutions dans le cas où $C$ et $a$ sont des nombres réels.
Si le coefficients $a$ est réel, on considérera le plus souvent des solutions $y$ à valeurs réelles.
Si le coefficient $a$ est un nombre complexe non réel, on considérera nécessairement solutions $y$ à valeurs complexes.
Les solutions de l'équation différentielle linéaire $y'(x)-ay(x)=b(x)$ sont les sommes d'une solution particulière $y_p$ et des solutions $C \exp(ax)$ de l'équation homogène.
Pour trouver une solution particulière on peut essayer une solution dont la forme est proche de celle du second membre $d(x)$.
Si $b(x)$ est un polynôme, on cherche une solution particulière sous la forme $y_P(x)=Q(x)$ où $Q(x)$ est un polynôme.
Si $b(x) = P(x) e^{kx}$ avec $P(x)$ un polynôme et $k\in \mathbb C$, on cherche une solution particulière sous la forme $Q(x) e^{kx}$ où $Q(x)$ est un polynôme.
Pour d'autres seconds membres, on utilise la méthode de la variation de la constante: on cherche une solution particulière sous la forme $C(x)\exp(ax)$.
On a souvent une condition initiale sur $y(0)$ qui permet de déterminer le paramètre $C$ dans $y(x)=y_p(x)+C\exp(ax)$.
Parfois on a une condition sur la valeur de $y$ en un point $x_0$ différent de $0$: la méthode est la même.