Les solutions de $y''+by'+cy=0$ sont les combinaisons linéaires des deux solutions $y_1$ et $y_2$ vues en cours.
On visualise ici les solutions de $y''+by'+cy=0$ dans le cas réel.
Pour calculer les solutions d'une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants $y''+by'+cy=0$ on écrit d'abord l'équation caractéristique associée $r^2+br+c=0$, dont on calcule les solutions $r_1$ et $r_2$. Par exemple, l'équation caractéristique de $y''(x)+3y'(x)+2y(x)=0$ est $r^2+3r+2=0$.
Non l'équation caractéristique de $y''(x)+5y(x)=0$ n'est pas $r^2+5r=0$.
Oui l'équation caractéristique de $y''(x)+5y(x)=0$ est $r^2+5=0$.
Dans le cas de coefficients réels, on considérera généralement des solutions $y_1$ et $y_2$ réelles.
Dans le cas de coefficients complexes, on considérera généralement des solutions $y_1$ et $y_2$ complexes.
Les solutions de l'équation différentielle linéaire $y''(x)+by'(x)+cy(x)=d(x)$ sont les sommes d'une solution particulière $y_p$ et des solutions $Ay_1+By_2$ de l'équation homogène.
Pour trouver une solution particulière on peut essayer une solution dont la forme est proche de celle du second membre $d(x)$.
Si $d(x)$ est un polynôme, on cherche une solution particulière sous la forme $y_P(x)=Q(x)$ où $Q(x)$ est un polynôme.
Si $d(x) = P(x) e^{kx}$ avec $P(x)$ un polynôme et $k\in \mathbb C$, on cherche une solution particulière sous la forme $Q(x) e^{kx}$ où $Q(x)$ est un polynôme.
Plus généralement, on peut utiliser la méthode de la variation des constantes qui n'est pas traitée ici.
On a souvent des conditions en plus qui permettent de déterminer les paramètres $A$ et $B$ dans $y(x)=Ay_1(x)+By_2(x)$. Deux types de conditions sont courantes.
On connait $y(x_0)$ et $y'(x_0)$.
On connait $y(x_0)$ et $y(x_1)$ en deux points distincts $x_0$ et $x_1$.