$\iint$
Intégrales multiples

Visualisation

On considère un domaine $D\subset\mathbb R^2$ et une fonction $f:D\to\mathbb R$.

L'intégrale double $\displaystyle{\iint_D f(x,y) \,\mathrm{d}x\, \mathrm{d}y}$ est le volume entre le domaine $D$ dessiné dans le plan $z=0$ et la surface représentative de $f$. Si $f$ est en dessous de $z=0$ alors le volume correspondant est compté de façon négative.

Primitives connues

Calcul direct

Pour calculer $\displaystyle{\int_a^b\int_c^d f(x,y) \,\mathrm{d}y \,\mathrm{d}x},$ on calcule d'abord, avec $x$ fixé, l'intégrale interne $g(x) = \displaystyle{\int_c^d f(x,y) \,\mathrm{d}y},$ puis l'intégrale externe $\displaystyle{\int_a^b g(x) \,\mathrm{d}x}.$

Calcul d'aire

Le volume entre un domaine et la fonction à l'altitude 1 au dessus de ce domaine est une fois l'aire du domaine, c'est-à-dire précisément l'aire du domaine.

Interversion

Sur un rectangle.

Sur des domaines plus généraux.

Pour intervertir l'ordre des intégrales dans $I=\displaystyle{\int_0^2 \int_0^{x^2} (x^3+y) \mathrm{d}y\,\mathrm{d}x}$, on écrit le domaine d'intégration: $$\displaystyle{D=\{ (x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid 0 < x < 2 \text{ et } 0 < y < x^2 \}}$$ On l'exprime ensuite à l'aide de la variable $y$: $$\displaystyle{D=\{ (x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid 0 < y < 4 \text{ et } \sqrt{y} < x < 2 \}}$$ D'après le théorème de Fubini: $\displaystyle{I=\int_0^4 \int_{\sqrt{y}}^2 (x^3+y) \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y}$.

Attention L'expression $\displaystyle{\int_0^{x^2} \int_0^2 (x^3+y) \, \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y}$ n'a aucun sens car la variable $x$ n'est ici définie que dans de l'intégrale interne. On ne peut donc pas utiliser $x^2$ dans les bornes de l'intégrale externe.

Changement de variables

Coordonnées polaires

Théorème Soit $f:D\to \mathbb{R}$ avec $D\subset \mathbb{R}^2.$ Si

$f$ est continue sur le domaine d'intégration $D$ et
$D=\{(\rho \cos(\theta), \rho \sin(\theta)) \, \mid \, \rho\in I, \theta\in J\}$ avec $I$ un intervalle inclus dans $[0,\infty[$ et $J$ un intervalle de longueur inférieure ou égale à $2\pi$, et
$\displaystyle{\int_J \int_I |f(\rho \cos(\theta), \rho \sin(\theta))| \,\rho \,\mathrm{d}\rho\,\mathrm{d}\theta < \infty }$

alors $$\displaystyle{\iint_{D}f(x,y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y = \int_J \int_I f(\rho \cos(\theta), \rho \sin(\theta)) \,\rho \,\mathrm{d}\rho\,\mathrm{d}\theta .}$$

Pour exprimer le domaine d'intégration en termes d'angles, on aura souvent besoin de reconnaître un angle à partir de sa tangente, pour ceci il suffit de connaître les tangente des angles $\pi/6,$ $\pi/4$ et $\pi/3$, toutes les autres tangentes se déduisent de celles-ci. $$\displaystyle{\begin{matrix}\theta & 0 & \pi/6 & \pi/4 & \pi/3\\ \sin\theta & 0 & 1/2 & 1/\sqrt{2} & \sqrt{3}/2\\ \cos\theta & 1 & \sqrt{3}/2 & 1/\sqrt{2} & 1/2\\ \tan\theta & 0 & 1/\sqrt{3} & 1 & \sqrt{3} \end{matrix}}$$

$\iint$Intégrales multiples