On considère un intervalle $I\subset\mathbb R^2$ de bornes $a\leq b$ et une fonction $f:I\to\mathbb R$.
L'intégrale $\displaystyle{\int_a^b f(x) \,\mathrm{d}x}$ est l'aire délimitée par la courbe représentative de $f$, l'axe des abscisses et les droites $x=a$ et $x=b$. Si $f$ est en dessous de l'axe des abscisses alors l'aire correspondante est comptée de façon négative.
Si on connaît une primitive $F$ de $f$ alors le théorème fondamental du calcul différentiel et intégral affirme que $$\int_a^b f(x)\mathrm{d}x =\left[F(x)\right]_a^b= F(b) -F(a).$$
En lisant la table des dérivées usuelles
| $F(x)$ | $F'(x)$ | |
|---|---|---|
| $x^n$ | $nx^{n-1}$ | |
| $\exp(x)$ | $\exp(x)$ | |
| $\sin(x)$ | $\cos(x)$ | |
| $\cos(x)$ | $-\sin(x)$ | |
| $\ln(x)$ | $\dfrac{1}{x}$ | pour $x>0$ |
de droite à gauche et en rajoutant une constante $C$, on retrouve la table des primitives usuelles:
| $F'(x)$ | $F(x)$ | |
|---|---|---|
| $x^{m}$ | $\dfrac{x^{m+1}}{m+1}+C$ | pour $m\neq -1$ |
| $\exp(x)$ | $\exp(x)+C$ | |
| $\cos(x)$ | $\sin(x)+C$ | |
| $-\sin(x)$ | $\cos(x)+C$ | |
| $\dfrac{1}{x}$ | $\ln(x)+C$ | pour $x>0$ |
On connaît les dérivées des sommes, produits, quotients et composées de fonctions:
| $(aF(x))'$ | $=a\,F'(x)$ |
| $(F(x)+G(x))'$ | $=F'(x)+G'(x)$ |
| $(F(x)G(x))'$ | $=F'(x)G(x)+F(x)G'(x)$ |
| $\left(\dfrac{F(x)}{G(x)}\right)^\prime$ | $=\dfrac{F'(x)G(x)-F(x)G'(x)}{(G(x))^2}=\dfrac{F'(x)}{G(x)}-\dfrac{F(x)G'(x)}{(G(x))^2}$ |
| $(F(G(x)))'$ | $=G'(x)F'(G(x))$ |
en utilisant ce tableau on peut calculer de nombreuses primitives.
On peut d'abord s'exercer sur le cas $F(y)=y^n$.
Puis on doit reconnaître soi-même la forme de la fonction.
La formule de dérivation d'un produit $(FG)'=F'\,G+F\,G'$ permet d'écrire la formule d'intégration par parties (on omet exceptionnellement la variable $x$) $$\int_a^b F'\,G = \left[F\,G\right]_a^b-\int_a^b F\,G'.$$ Cette formule permet de calculer l'intégrale de certains produits.
On peut être amené à faire plusieurs intégration par parties successives.