$ \Big(\begin{smallmatrix}\cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot \end{smallmatrix}\Big)$
Matrices

Visualisation

Une matrice $\begin{pmatrix}a & b\\ c & d \end{pmatrix}$ multipliée par un vecteur $\begin{pmatrix}x\\ y \end{pmatrix}$ donne un vecteur $\begin{pmatrix}X\\ Y \end{pmatrix}$. Observons le résultat de cette transformation sur une grille de points du plan.

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Opérations linéaires

Multiplication par un scalaire

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Addition

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Multiplication de matrices

Matrice fois matrice colonne

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Cas général

Dans un premier temps on se ramène au cas des produits matrice-matrice colonne.

Une fois qu'on maîtrise bien ceci on peut calculer directement le produit.

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Système linéaire associé

Matrices à système linéaire

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Système linéaire à matrices

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La méthode de Gauß

Étant donné des matrices $A$ et $b$ de formats $m\times n$ et $m\times 1$, on cherche une matrice $x$ de format $n\times 1$ telle que $Ax=b.$

1. Exprimer l'équation $Ax=b$ sous forme de la matrice à deux blocs $(A \mid b)$.
2. Échelonner le bloc de gauche par des opérations élémentaires sur les lignes.
3. Résoudre l'équation sous forme échelonnée par des opérations élémentaires sur les lignes.

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Opérations élémentaires sur les lignes

1 Échanger deux lignes: $L_j \leftrightarrow L_k$

2 Multiplier une ligne par un nombre non-nul: $L_j \leftarrow a L_j ,\, a\neq 0$

3 Ajouter à une ligne un multiple d'une autre ligne: $L_j \leftarrow L_j + a L_k,\, k\neq j$

Attention Les opérations élémentaires sur les lignes d'une matrice sont différentes des opérations élémentaires sur les nombres réels (additionner, soustraire, multiplier et diviser).

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Résolution dans le cas d'une matrice échelonnée

Une matrice est échelonnée si, sur chaque ligne, le premier coefficient non-nul (s'il y en a un) est strictement plus à droite que le premier coefficient non-nul de la ligne précédente.

Reconnaître une matrice échelonnée

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Mettre une matrice sous forme échelonnée

On peut d'abord s'entraîner avec une aide.

Puis on peut échelonner des matrices sans aide.

Si $A$ est échelonnée, alors le système décrit par $(A \mid b)$ est simple à résoudre.

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Inverse

Étant donné une matrice carrée $A$, pour résoudre $$AX = I_n = \begin{pmatrix}1 & 0 & \cdots & 0\\ 0 & \ddots & \ddots & \vdots\\ \vdots & \ddots & \ddots & 0\\ 0 & \cdots & 0 & 1 \end{pmatrix}\,,$$ avec $X = (x_1\,x_2\,\cdots\,x_n)$, $x_j\in\mathbb{R}^n$, il suffit de résoudre $$Ax_{1}=\begin{pmatrix}1\\ 0\\ \vdots\\ \vdots\\ 0 \end{pmatrix}\,,\;Ax_{2}=\begin{pmatrix}0\\ 1\\ 0\\ \vdots\\ 0 \end{pmatrix},\dots,\;Ax_{n}=\begin{pmatrix}0\\ \vdots\\ \vdots\\ 0\\ 1 \end{pmatrix}\,.$$ Il suffit donc d'utiliser la méthode de Gauß avec une matrice augmentée contenant toutes ces colonnes, c'est-à-dire $(A\, | \, I_n)$.

On utilise d'abord des opérations élémentaires pour échelonner la matrice de gauche, puis de nouveau des opérations élémentaires pour obtenir, si possible, l'identité à la place de la matrice de gauche. La matrice de droite est alors l'inverse de $A$.

Inverser une matrice une matrice échelonnée.

Inverser une matrice une matrice quelconque.