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Visualisation Opérations linéaires Multiplication de matrices Système linéaire associé Méthode de Gauss

$ \Big(\begin{smallmatrix}\cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot \end{smallmatrix}\Big)$
Matrices

Visualisation

Une matrice $\begin{pmatrix}a & b\\ c & d \end{pmatrix}$ multipliée par un vecteur $\begin{pmatrix}x\\ y \end{pmatrix}$ donne un vecteur $\begin{pmatrix}X\\ Y \end{pmatrix}$. Observons le résultat de cette transformation sur une grille de points du plan.


Opérations linéaires

Multiplication par un scalaire


Addition


Multiplication de matrices

Matrice fois matrice colonne



Cas général

Dans un premier temps on se ramène au cas des produits matrice-matrice colonne.

Une fois qu'on maîtrise bien ceci on peut calculer directement le produit.


Système linéaire associé

Matrices à système linéaire


Système linéaire à matrices


La méthode de Gauß

Étant donné des matrices $A$ et $b$ de formats $m\times n$ et $m\times 1$, on cherche une matrice $x$ de format $n\times 1$ telle que $Ax=b.$

  1. Exprimer l'équation $Ax=b$ sous forme de la matrice à deux blocs $(A \mid b)$.
  2. Échelonner le bloc de gauche par des opérations élémentaires sur les lignes.
  3. Résoudre l'équation sous forme échelonnée par des opérations élémentaires sur les lignes.


Opérations élémentaires sur les lignes

1 Échanger deux lignes: $L_j \leftrightarrow L_k$

2 Multiplier une ligne par un nombre non-nul: $L_j \leftarrow a L_j ,\, a\neq 0$

3 Ajouter à une ligne un multiple d'une autre ligne: $L_j \leftarrow L_j + a L_k,\, k\neq j$


Attention Les opérations élémentaires sur les lignes d'une matrice sont différentes des opérations élémentaires sur les nombres réels (additionner, soustraire, multiplier et diviser).


Résolution dans le cas d'une matrice échelonnée

Une matrice est échelonnée si, sur chaque ligne, le premier coefficient non-nul (s'il y en a un) est strictement plus à droite que le premier coefficient non-nul de la ligne précédente.

Reconnaître une matrice échelonnée


Mettre une matrice sous forme échelonnée

On peut d'abord s'entraîner avec une aide.

Puis on peut échelonner des matrices sans aide.

Si $A$ est échelonnée, alors le système décrit par $(A \mid b)$ est simple à résoudre.


Inverse

Étant donné une matrice carrée $A$, pour résoudre $$AX = I_n = \begin{pmatrix}1 & 0 & \cdots & 0\\ 0 & \ddots & \ddots & \vdots\\ \vdots & \ddots & \ddots & 0\\ 0 & \cdots & 0 & 1 \end{pmatrix}\,,$$ avec $X = (x_1\,x_2\,\cdots\,x_n)$, $x_j\in\mathbb{R}^n$, il suffit de résoudre $$Ax_{1}=\begin{pmatrix}1\\ 0\\ \vdots\\ \vdots\\ 0 \end{pmatrix}\,,\;Ax_{2}=\begin{pmatrix}0\\ 1\\ 0\\ \vdots\\ 0 \end{pmatrix},\dots,\;Ax_{n}=\begin{pmatrix}0\\ \vdots\\ \vdots\\ 0\\ 1 \end{pmatrix}\,.$$ Il suffit donc d'utiliser la méthode de Gauß avec une matrice augmentée contenant toutes ces colonnes, c'est-à-dire $(A\, | \, I_n)$.

On utilise d'abord des opérations élémentaires pour échelonner la matrice de gauche, puis de nouveau des opérations élémentaires pour obtenir, si possible, l'identité à la place de la matrice de gauche. La matrice de droite est alors l'inverse de $A$.

Inverser une matrice une matrice échelonnée.

Inverser une matrice une matrice quelconque.

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