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Opérations Factorisations simples Division Euclidienne Polynomiale Décomposition en éléments simples

$x^n$
Polynômes

Visualisation

Les polynômes à coefficients réels sont des sommes de monômes de la forme $a x^n$ avec $a\in\mathbb{R}$, $x$ une variable et $n\in\mathbb{N}$.

Opérations

Il y a trois opérations élémentaires que l'on peut effectuer avec des polynômes:

  1. Somme (et différence)
  2. Multiplication par un scalaire
  3. Multiplication de deux polynômes

Auxquelles on peut ajouter des opérations plus avancées:
  1. Dérivation
  2. Primitivation
  3. Composition de deux polynômes

Factorisation

Racines

Le degré d'un polynôme est la puissance de $x$ la plus élevée apparaissant dans les monômes. Par exemple $2+7x+5x^3$ est un polynôme de degré 3.

Un polynôme de degré $n$ possède au plus $n$ racines.

Pour les polynômes $P(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\neq 0$, si le discriminant $\Delta = b^2-4ac$ est positif ou nul, les racines sont données par $\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$.

Factorisations simples

Factorisation de $x^n-a^n$ par $x-a$

Factorisation de $P(x)$ par $x-a$ si $P(a)=0$

Division euclidienne polynomiale

Étant donnés deux polynômes $P_1$ et $P_2$, il existe un unique couple de polynômes $(Q,R)$ appelés le quotient $Q$ et le reste $R$ de la division euclidienne de $P_1$ par $P_2$ tels que $P_1=P_2Q+R$ et $\deg(R)<\deg(P_2)$.

\[ \begin{array}{ccccccccccc|cc} {\color{blue}\text{Dividende }P_{1}} & {\color{blue}} & {\color{blue}3x^{4}} & {\color{blue}+} & {\color{blue}8x^{3}} & {\color{blue}+} & {\color{blue}5x^{2}} & {\color{blue}-} & {\color{blue}x} & {\color{blue}+} & {\color{blue}2} & {\color{red}2x^{2}+1} & {\color{red}\text{Diviseur }P_{2}}\\ \hline & -( & 3x^{4} & & & + & \dfrac{3}{2}x^{2} & ) & & & & {\color{green}\dfrac{3}{2}x^{2}+4x+\dfrac{7}{4}} & {\color{green}\text{Quotient }Q}\\ & & 0 & + & 8x^{3} & + & \dfrac{7}{2}x^{2} & - & x & + & 2\\ & & & -( & 8x^{3} & & & + & 4x & ) & \\ & & & & 0 & + & \dfrac{7}{2}x^{2} & - & 5x & + & 2\\ & & & & & -( & \dfrac{7}{2}x^{2} & & & + & \dfrac{7}{4})\\ {\color{orange}\text{Reste }R} & & & & & & 0 & {\color{orange}-} & {\color{orange}5x} & {\color{orange}+} & {\color{orange}\dfrac{1}{4}} \end{array} \] On a bien $3x^4+8x^3+5x^2-x+2 = (2x^2+1)(\dfrac{3}{2}x^2+4x+\dfrac{7}{2})-5x+\dfrac{1}{4}$.

Un algorithme similaire est utilisé pour calculer des développements limités. On prend alors les puissances dans l'autre sens:

Division suivant les puissances croissantes

\[ \begin{array}{cccccccc|cc} {\color{blue}\text{Dividende}} & {\color{blue}} & {\color{blue}2x} & {\color{blue}-} & {\color{blue}\dfrac{4}{3}x^{3}} & & & & {\color{red}1-2x^{2}} & {\color{red}\text{Diviseur}}\\ \hline & -( & 2x & - & 4x^{3} & ) & & & {\color{green}2x+\dfrac{3}{8}x^{3}} & {\color{green}\text{Quotient}}\\ & & 0 & & \dfrac{8}{3}x^{3} & & & \\ & & & -( & \dfrac{8}{3}x^{3} & - & \dfrac{16}{3}x^{5} & )\\ {\color{orange}\text{Reste}} & & & & & & {\color{orange}\dfrac{16}{3}x^{5}} & {\color{orange}} \end{array} \]

d'où $2x-\frac{4}{3}x^3=(1-2x^2)(2x+\frac{8}{3}x^3)+(\frac{16}{3}x^5)$. On obtient alors $$\frac{2x-\frac{4}{3}x^3}{1-2x^2}=2x+\frac{8}{3}x^3+\frac{\frac{16}{3}x^5}{1-2x^2}$$ et donc $$\frac{2x-\frac{4}{3}x^3}{1-2x^2}=2x+\frac{8}{3}x^3+x^4\epsilon(x)$$


Décomposition en éléments simples

On peut décomposer les fractions rationnelles en des sommes de fractions simples faciles à primitiver. Par exemples les fractions rationnelles de la forme $\dfrac{a}{(x-\lambda)^k}$ sont faciles à primitiver

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