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Loi de probabilité Événements

P(A)
Probabilités

Loi de probabilité

À densité

Une variable aléatoire X suit une loi de probabilité de densité f(x) sur un intervalle IR si la probabilité d'avoir X dans un intervalle ]x0,x1[I est P(X]x0,x1[)=x0x1f(x)dx. La fonction f s'appelle la densité de la loi. Elle est continue sur I, positive et d'intégrale 1. Il y a trois exemples fondamentaux:

  • La loi uniforme sur un intervalle I=]a,b[, définie par f(x)=1ba sur I, et 0 ailleurs.
  • La loi exponentielle de paramètre λ>0, définie par f(x)=λexp(λx) sur I=]0,+[, et 0 ailleurs.
  • La loi gaussienne centrée réduite, définie sur I=R par f(x)=12πσ2exp((xμ)22σ2).

Visualisation

Visualisons la densité



Discrète

Une variable aléatoire X est discrète si elle prend ses valeurs dans une partie finie ou dénombrable K de R.
Elle est caractérisée par les nombres pk=P(X=k) pour k dans K, dont la somme vaut 1.

  • La loi uniforme discrète sur une partie K finie de R définie pour k dans K par P(X=k)=pk=1Card(K).
  • La loi de Bernoulli de paramètre p sur K={0,1}, définie par P(X=0)=p0=p, P(X=1)=p1=1p.
  • La loi binomiale de paramètres nN et p>0, définie pour k dans K={0,,n} par P(X=k)=pk=(nk)pk(1p)nk.

Concrètement:

  • Le résultat X d'un jet de dé équilibré suit une loi uniforme sur {1,2,,6}. On a P(X=k)=pk=16 pour 1k6.
  • Une pièce a deux faces numérotées 0 et 1. Elle a la probabilité p de tomber sur la face 0.
    • Le résultat X d'un jet de la pièce suit la loi de Bernoulli de paramètre p sur {0,1}.
    • On jette n fois la pièce. Le nombre de fois X où la pièce est tombé sur 0 suit la loi binomiale de paramètres n et p.



  • La loi de Poisson de paramètre λ>0 définie pour k dans K=N par P(X=k)=eλλkk!.
  • La loi géométrique de paramètre p définie pour k dans K=N par P(X=k)=p(1p)k1.

Concrètement

  • Le nombre X de jets de dé nécessaires pour obtenir au moins une fois un 1 suit une loi de géométrique de paramètre 1/6. On a P(X=k)=16(56)k1 pour k1.



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