$\mathbb{P}(A)$
Probabilités

Une variable aléatoire $X$ suit une loi de probabilité de densité $f(x)$ sur un intervalle $I\subset \mathbb{R}$ si la probabilité d'avoir $X$ dans un intervalle $]x_0,x_1[\subset I$ est $$\mathbb{P}(X\in ]x_0,x_1[) = \int_{x_0}^{x_1} f(x)\mathrm{d}x. $$ La fonction $f$ s'appelle la densité de la loi. Elle est continue sur $I$, positive et d'intégrale 1. Il y a trois exemples fondamentaux:

• La loi uniforme sur un intervalle $I=]a,b[$, définie par $f(x)=\dfrac{1}{b-a}$ sur $I$, et $0$ ailleurs.
• La loi exponentielle de paramètre $\lambda>0$, définie par $f(x)=\lambda \exp(-\lambda x)$ sur $I=]0,+\infty[$, et $0$ ailleurs.
• La loi gaussienne centrée réduite, définie sur $I=\mathbb{R}$ par $$f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\exp(-\dfrac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}).$$

• La loi uniforme discrète sur une partie $K$ finie de $\mathbb{R}$ définie pour $k$ dans $K$ par $\mathbb{P}(X=k)=p_k=\dfrac{1}{\mathrm{Card}(K)}$.
• La loi de Bernoulli de paramètre $p$ sur $K=\{0,1\}$, définie par $\mathbb{P}(X=0)=p_0=p$, $\mathbb{P}(X=1)=p_1=1-p$.
• La loi binomiale de paramètres $n\in\mathbb{N}^*$ et $p>0$, définie pour $k$ dans $K=\{0,\dots,n\}$ par $\mathbb{P}(X=k)=p_k = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$.

Concrètement:

• Le résultat $X$ d'un jet de dé équilibré suit une loi uniforme sur $\{1,2,\dots,6\}$. On a $\mathbb{P}(X=k)=p_k=\dfrac{1}{6}$ pour $1\leq k \leq 6$.
• Une pièce a deux faces numérotées $0$ et $1$. Elle a la probabilité $p$ de tomber sur la face $0$.
  • Le résultat $X$ d'un jet de la pièce suit la loi de Bernoulli de paramètre $p$ sur $\{0,1\}$.
  • On jette $n$ fois la pièce. Le nombre de fois $X$ où la pièce est tombé sur $0$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p$.

• La loi de Poisson de paramètre $\lambda>0$ définie pour $k$ dans $K=\mathbb{N}$ par $\mathbb{P}(X=k)=e^{-\lambda}\dfrac{\lambda^k}{k!}$.
• La loi géométrique de paramètre $p$ définie pour $k$ dans $K=\mathbb{N}^*$ par $\mathbb{P}(X=k)=p(1-p)^{k-1}$.

Concrètement

• Le nombre $X$ de jets de dé nécessaires pour obtenir au moins une fois un $1$ suit une loi de géométrique de paramètre $1/6$. On a $\mathbb{P}(X=k)=\dfrac{1}{6}\Big(\dfrac{5}{6}\Big)^{k-1}$ pour $k \geq 1$.