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Systèmes linéaires

La méthode de Gauß

Étant donné un système $S$ de $m$ équations linéaires faisant intervenir $n$ inconnues $x_1,x_2,\dots,x_n$, on souhaite savoir si ce système possède des solutions, et si oui, laquelle ou lesquelles.

Pour résoudre ce problème on utilise la méthode de Gauß:

1. Échelonner le système d'équations par des opérations élémentaires sur les équations.
2. Résoudre le système échelonné équivalent ainsi obtenu.

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Opérations élémentaires sur les équations

1 Échanger deux équations: $E_j \leftrightarrow E_k$

2 Multiplier les deux membres d'une équation par un nombre non-nul: $E_j \leftarrow a E_j ,\, a\neq 0$

3 Ajouter à une équation un multiple d'une autre équation: $E_j \leftarrow E_j + a E_k,\, k\neq j$

Observons l'effet des operations élémentaires sur un système linéaire.

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Mettre un système sous forme échelonnée

On peut d'abord s'entraîner avec une aide.

Puis on peut échelonner des systèmes sans aide.

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Résolution d'un système linéaire échelonné

Pour résoudre un système linéaire échelonné, on détermine la variable de l'équation du bas, puis on la remplace par sa valeur dans les équations du dessus, puis on détermine de même les autres variables en "remontant" les équations.