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Trigonométrie

La trigonométrie relie les longueurs et les angles dans un triangle. La trigonométrie est cruciale car les triangles sont l'une des "briques" avec lesquelles on construit toute figure.

L'importance de la trigonométrie dépasse la géométrie car les fonctions sinus et cosinus apparaîssent dans tous les domaines scientifiques.

Ce chapitre aborde les aspects géométriques de la trigonométrie.

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Triangle Rectangle

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Cercle Trigonométrique

La trigonométrie permet aussi de relier des longueurs d'arcs de cercles à des projections sur les axes des abscisses ou des ordonnées.

Le cercle trigonométrique permet de visualiser de nombreuses propriétés des fonctions trigonométriques, il faut le redessiner dès qu'on a le moindre doute.

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Symétries

Les symétries des fonctions trigonométriques se voient sur le cercle trigonométrique, par exemple:

• les fonctions trigonométriques sont $2\pi$-périodiques,
• la fonction cosinus est paire: $\cos(-x)=\cos(x)$ et
• les fonctions sinus et tangente sont impaires: $\sin(-x)=-\sin(x)$, $\tan(-x)=-\tan(x)$.

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Graphes

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Valeurs remarquables

Pour calculer les valeurs des fonctions cosinus, sinus et tangente en les points usuels, il suffit de comprendre les propriétés de parité et de symétrie du cosinus sur le cercle trigonométrique et de mémoriser trois valeurs remarquables de $\cos$ :

• $\displaystyle{\cos\big(\frac{\pi}{6}\big)} = \displaystyle{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \displaystyle{\sin\big(\frac{\pi}{3}\big)}$
• $\displaystyle{\cos\big(\frac{\pi}{4}\big)} = \displaystyle{\frac{1}{\sqrt{2}}} = \displaystyle{\sin\big(\frac{\pi}{4}\big)}$
• $\displaystyle{\cos\big(\frac{\pi}{3}\big)} = \displaystyle{\frac{1}{2}} = \displaystyle{\sin\big(\frac{\pi}{6}\big)}$

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Relations

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$\cos^2(x)+\sin^2(x)=1$

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$\cos(a+b)$ et $\sin(a+b)$

Pour retrouver la formule de $\cos(a+b)$, il suffit de se rappeler que $\exp(ix) = \cos(x) + i\sin(x),$ et $\exp(ia+ib)=\exp(ia)\exp(ib).$ Alors en prenant les parties réelles et imaginaires de
$\exp(i(a+b))$ $= (\cos(a) + i\sin(a))(\cos(b)+i\sin(b)) $ $= \cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b) + i(\cos(a)\sin(b)+\sin(a)\cos(b)),$ on retrouve:

• $\cos(a+b) = \cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b)$.
• $\sin(a+b) = \cos(a)\sin(b)+\sin(a)\cos(b)$.

On peut aussi visualiser ce résultat.

Autres formules

Il existe d'autres relations importantes de trigonométrie, mais il suffit de mémoriser les formules pour $\sin(a+b)$ et $\cos(a+b)$, car les autres formules peuvent être retrouvées à l'aide de ces deux formules et de la relation de Pythagore. Il faut s'entraîner à faire cette gymnastique pour retrouver ces autres formules.

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Euler: $e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)$

La formule d'Euler relie l'exponentielle, qui est très facile à manipuler, et les fonctions cosinus et sinus, qui sont très utiles en géométrie.

En utilisant la formule d'Euler pour $e^{ix}$ et $e^{-ix}$ on trouve: $\displaystyle{\cos(x)=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}}$ et $\displaystyle{\sin(x)=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}$.

Linéarisation

Les produits sont plus difficiles à manipuler que les sommes, il est donc utile de savoir transformer les expressions de la forme $\cos(x)^n\sin(x)^m$ en une somme de terme de la forme $\cos(jx)$ ou $\sin(kx)$, c'est ce qu'on appelle linéariser $\cos(x)^n\sin(x)^m$.

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