$
\exp$
Fonctions usuelles
Les fonctions usuelles sont des fonctions qui interviennent très souvent dans tous les domaines des sciences.
Les font l'objet d'un chapitre à part.
détaille le cas des fonctions polynomiales.
Notation Le logarithme népérien est noté $\log$ et le logarithme en base 10 est noté $\log_{10}$.
Exponentielle
La fonction exponentielle est la plus importante des fonctions usuelles et elle est intimement liée aux autres fonctions usuelles:
- Le logarithme est sa fonction réciproque,
- Les fonctions cosinus, sinus (et leurs variantes hyperboliques) peuvent être exprimées à l'aide de la fonction exponentielle.
- Les fonctions puissances pour des exposants non entiers sont définies à l'aide de la fonction exponentielle.
Il est donc indispensable de bien la maîtriser.
La fonction exponentielle intervient dans de nombreuses situations, par exemple pour des modèles de croissance de populations (tant que les ressources ne limitent pas l'expansion de la population).
Visualisation: Exponentielle
Valeurs remarquables et monotonie
Domaine de définition
Dérivées
Relation fonctionnelle
Limites et croissances comparées
Exponentielle de base $a$
Pour $a>0$, l'exponentielle en base $a$ de $x$ est: $$ a^x=\exp(x\log(a)). $$
Modélisation: La demi-vie et l'exponentielle de base $2$
Fonctions trigonométriques
Les fonctions trigonométriques de base sont les fonctions cosinus, notée $\cos$, sinus, notée $\sin$ et tangente, notée $\tan$.
Elle sont indispensables:
- en géométrie,
- pour étudier les phénomènes périodiques.
Et elles sont utilisées dans de nombreux autres domaines, par exemple le format de fichiers d'images JPEG utilise une "décomposition en cosinus".
donne les définitions géométriques des fonctions sinus, cosinus et tangente.
détaille les liens entre la trigonométrie et les nombres complexes.
Visualisation: Sinus et Cosinus
Limites
Domaine de définition
Dérivées
Propriétés de la fonction tangente
Logarithme
Le logarithme est particulièrement utile pour estimer des ordres de grandeur. Il a par exemple des applications:
- en mathématiques pour transformer une multiplication (opération complexe) en addition (opération simple),
- en chimie pour calculer le pH,
- en acoustique pour calculer les décibels,
- en physique pour définir l'entropie,
- en informatique pour estimer les complexités de certain algorithmes,
- en musique pour relier le nom d'une note à sa fréquence,
- en sicences de la terre pour les échelles de mesure des tremblements de terre.
Visualisation: Logarithme népérien
Valeurs remarquables et monotonie
Domaine de définition
Dérivées
Relation fonctionnelle
Limites et croissances comparées
Le logarithme et l'exponentielle comme fonctions réciproques
Visualisation: Logarithme en base $a$